Изображение градационной шкалы по результатам предварительной обработки измерений.

t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{ Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или ког­да требуется построить доверительный интервал для M{ Х}. Обнаруже­но, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распреде­лена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

где N- общее число наблюдений (объем выборки),

Х - среднее арифметическое случайной переменной Х;

S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределе­ния Ф(t) для различных степеней свободы f=N-1, по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S²{ Х }. При сравнитель­но небольших N кривая Ф(t) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N----- кривая Ф(t) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения t _кр = t_q,f для принятого уровня значимости q и имеющегося чис­ла степеней свободы f, задаются только положительные t_кр.

Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t < t_кр, то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не проти­воречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q.

Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.

При t=t _кр разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине шири­ны доверительного интервала __ т.е.

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P=I-q находится математическое ожидание M{X}, определяется следующими выражениями:

Поскольку мате­матическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с ве­роятностью Р = I - q накрывает М {X}.