Параметрическое задание геометрических объектов

Как упоминалось ранее, параметрическое задание подразумевает функциональную зависимость координат точек объекта от некоторых параметров. Для линий используется функция одной переменной:

p = F(u) = (F_x(u), F_y(u), F_z(u)),

а для поверхности – функция двух переменных:

p = F(u, v) = (F_x(u, v), F_y(u, v), F_z(u, v)).

Вообще говоря, вид функции F может произвольной. Но на практике ограничивают набор функций, которые представляют наиболее часто встречающиеся геометрические объекты, из которых затем составляют более сложные. К ним относятся:

1) плоские линии: прямые, окружности, эллипсы и их отрезки, спирали Архимеда, эквидистанты;

2) пространственные линии: спирали;

3) поверхности: плоские, сферические, цилиндрические, конические, торические, пружинные.

Как видно, их перечень невелик. А потому для моделирования кривых и поверхностей, которые не вписываются в этот набор, используется сплайны и патчи. Наиболее употребляемые виды сплайнов: сплайны Безье, B-сплайны (NURBS). Среди патчей можно выделить: патчи NURBS, Безье-патчи, N-патчи, билинейные патчи, патчи Кунса. Тем не менее большинство пакетов использует эти инструменты для аппроксимации вышеперечисленных кривых и поверхностей и не имеют автоматических средств для аппроксимации пользовательский кривых (параболы, гиперболы, синусоиды) и поверхностей (параболоиды, конусы с образующей заданного вида и др.) с помощью перечисленных сплайнов и патчей.

Данная работа как раз и посвящается изучению и разрешению данной проблемы. Сформулируем основные задачи, которые должны быть при этом решены:

1) гибкость и универсальность определения пользовательских функций (расширяет область применения);

2) высокая скорость вычисления (обеспечивает возможность построения интерактивных приложений);

3) контролируемая точность аппроксимации функций (обеспечивает адекватность оценки полученных результатов);

4) минимизация результата аппроксимации (экономит память);

5) взаимодействие с другими системами;

6) универсализация механизма синтеза геометрических моделей.