Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится п испы­таний, в каждом¹ из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычис­лить вероятность P_n(k_и Л₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k_t и не более k_t раз (для крат­кости будем говорить «от до k_a раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п (k_x, k_t) того, что событие А появится в п испытаниях от k_l до /г₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

ж";

P_n(k_lt fc,)~-pL=-jV*v»dz, (*)

X'

где *'=(£*—np)lVnpq и xf = (k_t—np)/Vnpq.

При решении задач, требующих применения интеграль­ной теоремы Лапласа, пользуются специальными табли­цами, так как неопределенный интеграл §e~^zt/,dz не выражается через элементарные функции. Таблица для

X

интеграла Ф (дс) =-р==- J®^-**⁷* ^пР^ивеД^{ена в} конце книги

(см. приложение 2). В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х — 0; для * < 0 пользуются той же таблицей [функция Ф (х) не­ четна, т. е. Ф (— х) — — Ф (*)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х — Ъ, так как для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

О хГ

Р (Ь Ь \ (v. Г р—г*/г Лу _| ' Г р-г’/я ₌

х' О

-*^г-тш I¹*^г:=®^м~^ф'⁽*^г

О о

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k_t до ft₂ раз,

P_n(k_lt fc₂)~ Ф(х^я)-Ф(х'),

где х'= (k₁—np)l\f npq и x" = (k₂—np)j\fnpq.

Приведем примеры, иллюстрирующие применение ин­тегральной теоремы Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найтн вероятность того, что среди 400 случайно ото­бранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; п = 400; Л_х = 70; fc₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р₄₀₀ (70, 100) йФМ-Ф(*').

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования: _х,_ fei — пр __ 70— 400-0,2 _{t 9Я}.

Vnpq ~\f400-0,2-0,8 ’ ’ _r, — пр 100-400-0,2 „ j.

V~npq ~\f400-0,2-0,8 Таким образом, имеем

P₄₀₀ (70. 100) = Ф (2,5) - Ф (—1,25) = Ф (2,5) +Ф (1,25).

По таблице приложения 2 находим:

Ф (2,5) =0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.