Либо по равносильной формуле
г g{z)=\fi{z — y)f2{y)dy. (****) о Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией. Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если X и — независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и диспер сиями, соответственно равными аг = 3, яа = 4, D1=l, D2 = 0,5, то композиция этих величин (т. е. плотность вероятности суммы Z = X + Y) также распределена нормально, ‘причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны а — 3 + 4 = 7; D= 1 + +0,5 =1,5. Пример 2. Независимые случайные величины X и К заданы плотностями распределений: /(*)=-^е-лг/3 (0<х<оо); Ш=4е-"‘ (0<у<оо). Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X-\-Y. Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой ([2]) г г g(z) = jjf 1 (x)h (z—x)dx=§ [-ye_J:/3] [4" е_(г"л>/4] dx = =—»“г/4 j e~x/12dx = e~^4 (I -e~2/12). Заметим, что здесь г^О, так как Z = X-\-Y и, по условию, возможные значения X и Y неотрицательны.
|
