Обозначим функцию распределения нормированной суммы через
Говорят, что к последовательности Хи Х2,... применима центральная предельная теорема, если при любом х функция распределения нормированной суммы при п —*-00 стремится к нормальной функции распределения: X IimP = _1 Г е~г‘/2 dz. L Вп J)^2я J Ое В частности, если все случайные величины Xlf Х2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Х,-(г = 1,2,...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для б > 0 при п —>■ 00 отношение Ляпунова Ln — Cn/B*+t>, где С„= S М\Хк-ал\ч-*, *= 1 стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Хг, Х2,... применима центральная предельная теорема. Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (S„ — Л„)/В„ оказывало на сумму ничтожное влияние. Замечание. Для доказательства центральной предельной теоремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических функций. Характеристической функцией случайной величины X называют функцию q> (/) = M [e/,Jf]. Для дискретной случайной величины X с возможными значениями х и их вероятностями рь характеристическая функция <Р(0 =2е‘"* Рк- к Для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f (х) характеристическая функция D Ч> (О = $ e'tx f (*) dx. ® Можно доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
|
