Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случай­ные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдаю­щимся русским математиком А. М. Ляпуновым (централь­ная предельная теорема): если случайная величина X пред­ставляет собой сумму очень большого числа взаимно неза­висимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение изме­ряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, нх совокупное действие порождает уже заметную «суммар­ную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной тео­ремы, которая устанавливает условия, при которых сумма

большого числа независимых слагаемых имеет распреде­ление, близкое к нормальному.

Пусть Х_х, Х₂,..., Х_ПУ.. .— последовательность неза­висимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

S„ = X_x + X₂+...+Х„, А„= 2 ^аъ — 2 ь\.

k~\ fe=i