Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, нх совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку». Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения. Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть Хх, Х2,..., ХПУ.. .— последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: M(Xk)=ak, D (Xk) — Ы- Введем обозначения: S„ = Xx + X2+...+Х„, А„= 2 аъ — 2 ь\. k~\ fe=i
|
