Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых
равно а ^интеграл Пуассона ^ e_2'/2dz = V Итак, М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а. б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (X) = а, имеем D(X) = -4= f (*—a)*e-<*-aW2°'dx. о y 2я J •*> QD Введем новую переменную z = ( х — а)/а. Отсюда х—a = az, dx = adz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим D(x) = yw (В Интегрируя по частям, положив и — z, dv = ze~*,/2 dz, найдем D (X) = а*. Следовательно, о (X) = УЩХ) = ]/о» = о. Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру о. Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и а (о > 0). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а — О и а=1. Например, если X — нормальная величина с параметрами а и о, то U=(X — а)/о — нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, о(1/) = 1. Эта функция табулирована (см. приложение 1). Замечание 2. Функция F (ж) общего нормального распреде* леиия (см. гл. XI, § 3) X F(x)=—±— Г dz, а У 2я J /2я _ А функция нормированного распределения F°(K)~ys I Функция F0 (х) табулирована. Легко проверить, что F (х) = F0 ((х—а)/а). Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь X функцией Лапласа Ф (х) <== \ е-г’/2 dz. Действительно (см. Уйп J гл. XI, § 2), X X Р (0 < X < х) = С q> (х) dx — * - Г е-г*/а dz = Ф J У 2л J Ои Замечание 4. Учитывая, что q> (х) dx — 1 (см. гл. XI, § 4, СО свойство 2), и, следовательно, в силу симметрии <р (х) относительно нуля о J <р (х) dx = 0,5, а значит, и Р {—оо <Х< 0)=0,5,
|
