Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания. Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения / (х). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [а, Ь ]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной Дл^, Длг2,..., Дл:„ и выберем в каждом из них произвольную точку xt ( =1,2,..., п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений Xt на вероятности попадания их в интервал Ддс,- (напомним, что произведение f (х) Дх приближенно равно вероятности попадания X в интервал Дх): xif (*/)Лх/- Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный ь интеграл $ xf (х) dx. а Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [ а, 6], называют определенный интеграл ь М (X) = J xf (*) dx. (*) а Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то СП M(X)= ^ xf (x)dx. ® Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсо- Оо лютно, т. е. существует интеграл J | х | f (x)dx. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к —оо, а верхнего—к +оо. По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [о, 6], то ь D(X)=^[x-M(X)]*f(x)dx; если возможные значения принадлежат всей оси х, то СО D(X)= S [x—M(X)]*f(x)dx. CD Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством о(Х) = КЩХ). Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин. Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы: ь D (X) = J х*/ (*) dx—[М (X)]*, (**) а о» D(X)= $ х2/ (х) dx—[М (X)]*. Ао Пример 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения ( О при * < О, х при 0 <х< 1, при х > 1. Решение. Найдем плотность распределения: ( О при х< 0, при 0 < х < 1. О при х > 1. Найдем математическое ожидание по формуле (*): 1 1 М (X) = ^ х. 1 • dx = ха/21 = 1 /2. Найдем дисперсию по формуле (**): I D (X) = ^ х*. 1 -dx —[1/2]* = х8/з| — 1/4=1/12. О о Пример 2. Найтн математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b ). Решение. Найдем математическое ожидание X по формуле (*), учитывая, что плотность равномерного распределения f(x) — l/(b —в) Ь ь dx = r \ х dx. Ь—а J А а
|
