Построить график найденной функции.
Решение. Воспользуемся формулой F (х)— ^ f (х) dx. О» Если ж а, то/(х) = 0, следовательно, F(x)=0. Если а<х<Ь, то f{x) = lj(b — а), следовательно, ос ах F{x)= § f (•*) dx — § 0dx + §~i~'di: = Со — со а Если х > Ь, то Г (*) = ^ OdJC + ^ ^ Odx Ь а = 1. Ъ — а А Ь Итак, искомая функция распределения ( О при х <а, (х — а)/ф — а) при o<Jt<b, при х > Ь. График этой функции изображен на рис. 4. Свойства плотности распределения Свойство 1. Плотность распределения—неотрицательная функция: f (х) > 0. Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная F' (х) = f (х)— функция неотрицательная. Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распреде- _ ления, расположены либо 0 над осью Ох, либо на этой Рис. 4 Оси. График плотности распределения называют кривой распределения. Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от —оо до оо равен единице: $ / (х) dx — 1. As Доказательство. Несобственный интеграл сг>; 5 f (х) dx выражает вероятность события, состоящего в Оо том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (— оо, оо). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице. Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, Ь), то h а Пример. Плотность распределения случайной величины X задана: Найти постоянный параметр а. Решение. Плотность распределения должна удовлетворять ус ОО ловию \ f(x)dx — l, поэтому потребуем, чтобы выполнялось ра- CD
|
