По формуле Ньютона — Лейбница,
Ь ь F (Ь) — F (а) = ^ F' (x)dx = J f(x)dx. А а Таким образом, ь Р (а ^Х < b) = ^ / (х) dx. а Так как Р (а ^ X < b) = Р (а < X < Ь), то окончательно получим Р(а< X <b) = lf(x) dx. (*) а Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения / (х) и прямыми х = а и х = Ь. Замечание. В частности, если /(дс) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то а Р (—о < X < а) = Р (\ X \ < о) =2 ^ / (х) dx. о Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X ( О при *< 0, 2х при 0 < 1, О при х > 1. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (О,Б; 1). Решение. Искомая вероятность Р (0,5 < а: < I) =2 ^ xdx = x2 |J,S= 1—0,25 = 0,75. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения Зная плотность распределения f ( х ), можно найти функцию распределения F (х) по формуле X F(x)= J f(x)dx. OD Действительно, мы обозначили через F (х) вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, т. е. F(x) = P(X<x). Очевидно, неравенство X < х можно записать в виде двойного неравенства — оо < X < х, следовательно, F (х) = Р (— оо < X < х). (*) Полагая в формуле (*) (см. § 2) а= —оо, Ь — х, имеем X Р(—оо<Х<х)= J f (х) dx. Во Наконец, заменив Р (— оо < X < х) на F (х), в силу (*), окончательно получим X F(x)= J f(x)dx. Ао Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно: /(х) = Г (х). Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения: ! 0 при х < а, / (Ь —о) при а<х <&;, О при х > Ь.
|
