Свойства функции распределения
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]: 0<F(x)<l. Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е. F (х2) ^ F (xx), если хг > хг. Доказательство. Пусть х2 > хг. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее х2, можно подразделить на следующие два несовместных события: X примет значение, меньшее хх, с вероятностью Р (X < дсх); 2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1t^LX<xi, с вероятностью Р{хг X < х2). По теореме сложения имеем Р (X < xt) = Р (X < хх) + Р {xt < X < *,). Отсюда Р (X < х%) — Р (X < хг) = Р (хх < X < х%), Или F(xa)—F(x1) = P(x1<X<x1). (*) Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то /?(х1)— F (х^^ 0, или F (хл)^ F (хг), что и требовалось доказать. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р{а^Х <b) = F{b)—F(a). (**) Эго важное следствие вытекает из формулы (*), если положить х2 — Ь и хг — а. Пример. Случайная величина X задана функцией распределения ( О при х<, —1; х/4-f-1/4 при — 1<х<3; 1 при х > 3. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0, 2): Р(0 < X < 2) = F(2) — F(0).
|
