Будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
lioi Р Л —»■ ас М (XJ+ М (XJ +...+М (Хп) < 8 п Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин X^(Xt + X2+...+Хп)/п. Найдем математическое ожидание X. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим М (** + *«+•••+*«) = MjXd + MlXJ+...+M{XJ w Применяя к величине X неравенство Чебышева, имеем р ^ | -Xi + -Xg-t-..,-fXn + j < ^ ^ 1 _, % или, учитывая соотношение (*), i + X2 +. • • -f- X„ D/Xt + X2+...+Xn\ V _«L m M Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его 104 в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим D ^ *! + *,+...+Хп^ D (Х,) + Р (Х2)4-... +Р (Х„) It- По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т. е. имеют место неравенства: D (Хх)<1С; D(X2)^C;.. D(Xn)<IC, поэтому (D(Xx) + D(X2) +... + D {Хп))/пг^.(С + С +...'+C)/n'i — = nC/n2 = Cjn. Итак, D ^ ^ £. (***) Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем Хг + Х2+...+Хп п M(Xd + MjXJ +...+M(X,d I ^ о ^ ^, с_ ПЕ1 в» * Отсюда, переходя к пределу при п -* оо, получим Xi-\- хг-\- ■ ■ • -{-'Уд М(Х1) + М(Х2)+...+М(Хп) | < е ^ { Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать Xj-f- Х2 +... + Хп lim Р П • М (Хг) + М (Х2) +... + М (Кп) п
|
