Предварительные замечания
Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева. ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа е. Если е достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку. Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа е, не меньше, чем 1 — D(X)/e2: P(\X—M(X)\<&)>\—D(X)№. Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств \Х — М (Х)\<еи\Х—М (Х)\^е, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е. Р(|Х — М(Х)|<е)+Р(|Х-М(Х)|>е)=1. Отсюда интересующая нас вероятность Р{\Х-М(Х)\<г)=\ — Р(\Х — М(Х)\>в). (*) Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х—М(Х) | > е). Напишем выражение дисперсии случайной величины X: D (X) =1хг — М (X)]• Pl + [хш-М (X)]»р, +... • • • + [хп—М (X)]2 р„.
|
