Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы. Рассмотрим п взаимно независимых случайных величин Хг, Х2 Х„, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе. Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через X: X — (Xj -f- X, +... + Хп)/п. Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического X и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин: М (Х) = а. Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем М (X) = М (** + *»+••• +х») = M(X1) + M(XS)+...+М(Хп) п Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно а, получим М(Х) = па/п = а. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в п раз меньше дисперсии D каждой из величин: D (X) = D/n. (*) Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем D (X) = D -1 + **+ •••+*" ^ _ _ Р(Х1) + Р(Хй)+...+Р(Хп) Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна D, получим D (X) = nD/n% = D/ti. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин eYп раз меньше среднего квадратического отклонения о каждой из величин: <J (X) = ст/|/ 7 г. (**) Доказательство. Так как D(X)=D/n, то среднее квадратическое отклонение X равно с (X) = Vd(X) = VWn = VD'lVn = alVп. Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Поясним на примере значение этого вывода для практики. Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать:
|
