Характеристики рассеяния случайной величины
Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения: X —0,01 0,01 Y —100 100 р 0,5 0,5 р 0,5 0,5 Найдем математические ожидания этих величин: М(Х) = -0,01 -0,5 + 0,01 -0,5 = 0, М (У) = -100-0,5+ 100-0,5 = 0. Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем X имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а У —далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. § 2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания Пусть X— случайная величина и М (X)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X — М (X). Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. Пусть закон распределения X известен: X x-l xt ... хп Р Pi Pi • • • Рп Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение хг — М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение хх. Вероятность же этого события равна рх; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение хг—М (X), также равна рг. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения: X — М(Х) xt—М(Х) хг—М (X)... хп—М (X)
|
