Min (М, п).

Найдем вероятность того, что Х — т, т. е. что среди п отобранных изделий ровно т стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испы­тания равно числу способов, которыми можно извлечь п изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний С&;.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию Х — т (среди взятых п изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из М стандарт­ных изделий См способами; при этом остальные п—т изделий должны быть нестандартными; взять же п—т нестандартных изделий из N — т нестандартных изделий можно СЯг_^т_м способами. Следовательно, число благоприят­ствующих исходов равно СмСУгИм (см. гл. I, § 4, правило умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исхо­дов, благоприятствующих событию Х — т, к числу всех элементарных исходов

Формула (*•) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что т — случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, М, п. Иногда в качестве пара­метров этого распределения рассматривают N, п и p — M/N, где р — вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если п значительно меньше N (практи­чески если п<0,Ш), то гипергеометрическое распреде­ление дает вероятности, близкие к вероятностям, найден­ным по биномиальному закону.