Вероятностный смысл математического ожиданияПусть произведено п испытаний, в которых случайная величина X приняла mt раз значение xlt mt раз значение х2,..., mk ра:- значение xk, причем тх-\-т Л-{-... = Тогда сумма всех значений, принятых X, Равна хгтг + х^тг +... + Найдем среднее арифметическое X всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний: И = (xtml + ximi+... +xkmk)/n, Или = xt (mjn) + (т3/п) +...+** ( mk/n ). (*) Заметив, что отношение mjn — относительная частота №х значения xlt mjn — относительная частота значения xg и т. д., запишем соотношение (*) так: И = x^W t + х^Р *+•••+ X/fW I,. (**•) Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано в гл. IX, § 6): Й?1 ~plt Wt~p2 Wh~ph. Заменив в соотношении (**•) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим X ~ хгрг + х2ря +...+ хкрк. Правая часть этого приближенного равенства есть М ( X). Итак, М(Х). Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего н меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения. Этот термин заимствован из механики: если массы plt Рз,. ■ ■, р„ расположены в точках с абсциссами xlf хях„, причем 7,Р, — 1.
|
