Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоян­ную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р= 1. Следовательно,

М(С) = СЛ=С.

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину X как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения X; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений X. Напри­мер, если вероятность возможного значения х_г равна р_1г то вероят­ность того, что величина СХ примет значение Cx_lt также равна р_г.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания:

М (СХ) = CM (X).

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X х_х х_г... х_п

Р Pi Pi • • • Рп

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:

СХ Cx_t Cx_t ... Сх_п Р Pi Pi • • • Ptt Математическое ожидание случайной величины СХ:

М (СХ) = Сх_гр_х + Сх₂р_г + • • • + Сх_пр_п =

= С (х_гр_г + х₂р_а +... + х_пр_п) = CM (X).

Итак,

М (СХ) = CM (X).

Замечание 2. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин назы­вают взаимно независимыми, если законы распределения любого числа Из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случай­ных величин X и Y как случайную величину XY, возможные зна­чения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значе­ний произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения jtj равна р_х, вероятность возможного значения у_х равна gi, то вероятность возможного значения х_хУ\ равна pigi .

Заметим, что некоторые произведения x,-yj могут оказаться рав­ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если х₁у₂ = х₃у₆, то вероятность ХхУ₂ (или, что то же, *3 у₆) равна Р182 + Рзёь-

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий:

M(XY) = M(X)M{Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения

вероятностей [1]>;:

X х_хх₂ Y у,у₂ Р р_гр₃ g g,g₂

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получим x_ty_lt x₂y_t, x_ty₂ и х₂у_%. Учитывая заме­чание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

XY х₁у₁ %%Ух 2 ^ чУ 2

Р Р181 Р_е81 Pi8> Pig,

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М (XY) = х_ху₁ ■ p_xg_x + х₂у_г * p^gi + у_г • p_xg₂ + х₂у₂ ■ p₂g₂,

Или

М (XY) = y_lgl (х^ + x₂p₂) + y₂g₂ (x_tp, + x₂p₂) =

= (*iР_г + х₂р₂) (y₁g₁ + y_ig_z) = M(X)-M (У).

Итак, M(XY) = M(X)-M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY •Z) = M (ЛГ) M(Z) = M (X) М (Y) М (Z).

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Ли У заданы следующими законами распределения:

X 5 2 4 У 7 9 р 0,6 0,1 0,3 р 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М(Х) = 5-0,6 + 2-0,1+4-0,3 = 4,4;

М (У) = 7-0,8 + 9-0,9 = 7,4.

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

М (XY) — M (X) М (У) = 4,4-7,4 = 32,56.

Замечание 4. Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину X-\-Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным зна­чением К; вероятности возможных значений X-f -Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х-\-у могут оказаться равными между ссбой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если x_t-\-y₂ = = ^хгЛ-у& и вероятности этих возможных значений соответственно равны р₁₂ и р_аь, то вероятность х₁-\-х₂ (или, что то же, х₃-\-у ₆) равна Р12 + РЗБ-

Следующее ниже свойство справедливо как для неза­висимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения *>;:

X х_г х_г Y у_г у₂

Р Pi Pt 8 gi 8*

Составим все возможные значения величины X + F. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение К; получим х₁ + у₁, х₁ + у₂, х₂ + у_г и х₂-\-у₂. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то дока­зательство проводится аналогично), и обозначим их ве­роятности соответственно через р_11г р₁₂, р_г1 и р₂₂.

Математическое ожидание величины X + F равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

^ (X ^0 ⁼ C^i "4" У1) Рп У г) Рц "4" С^а "4" У\) Р21 ”1”

“I^- (-^2 “I^- Уа) Рга»

*> Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возмож­ными значениями каждой из величин. В общем случае доказатель­ство аналогичное.

Или

М (X + К) =» х_г (р_1г + р_1г) 4“ Х₂ (Рп "Ь Р22) ~Ь Ул. (Ри ~Ь Рг 1) +

+ y_t{Pl2+P2i)- (*)

Докажем, что p_n + p_ls = р_х. Событие, состоящее в том, что X примет значение х, (вероятность этого события равна pj), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X 4- У примет значение х_г + у_г или х_г + y_t (вероятность этого события по теореме сложения равна /Эц + рц), и обратно. Отсюда и следует, что р₁₁ + р_1% = р₁. Аналогично доказываются равенства

Рп Р22 ~ Pi' Рп ~Ъ Р21 ⁼ Si ^и Pia Р22 ~ §2";

Подставляя правые части этих равенств в соотноше­ние (*), получим

М {X + Y) = {x_tp_x + х₂р_г) + {у&_г + y₂g_%), или окончательно

М(X + У) = М(X) + М(У).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математичес­ких ожиданий слагаемых.