Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D (X) = npq. Доказательство. Рассмотрим случайную величину X — число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: Х = Х1 + Х2 +... + Х„, где Xj—число наступлений события в первом испытании, Х2— во втором,..., Х„ — в п- м. Величины Х1г Х2, .. Х„ взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5): D(X) = D(Xl) + D(Xt)+...+D(Xn). (*) Вычислим дисперсию Xt по формуле D (X,) =- А* (X?) — [А* (XJ]*. (**) Величина Xj—число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М ( Х1)=р. Найдем математическое ожидание величины XI, которая может принимать только два значения, а именно: 1® с вероятностью р и О2 с вероятностью q: М (X?) = I2 • р О2 • q = р. Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем D (XJ = р — р* = р (I — р) = pq. Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим D (X) = npq. Замечание. Так как величинах распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами пир равна произведению npq. Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найтн дисперсию случайной величины X — числа появлений события в этих испытаниях. Решение. По условию, п= 10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события <7=1—0,6 = 0,4.
|
