В. Теорема Бернулли
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебышевым в 1846 г. Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Другими словами, если е — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство lim Р(\т/п —р|<е) = 1. п -* ос Доказательство. Обозначим через Х± дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через Х2 — во втором,..., Х„—в п-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1 —p = q. Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин Х1г Хг,..., Хп следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины X/ (t = 1, 2,..., п) равна произведению pq так как p-\-q — 1, то произведение pq не превышает*** 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4. Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем lim Р (| (Xt+ Х2 +... +Х„) (п —а|<е)=1. П -*■ яо Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин X; (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события (см. гл. VII, § 2, пример 2), получим lim P(|(Xl |-Xa+...+X(I)/rt —р|<е)=1. П — 00 Остается показать, что дробь (Хх + Х2+... + Х„)/и равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин Xlt Х4,.., Х„ при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следо- *> Это следует из § 6 гл. VIII, если принять п— I. **> Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при.равенстве сомножителей. Здесь сумма р,-4-q,- = 1, т. е. постоянна, поэтому при p,=q(= l/2 произведение ptqi имеет наибольшее значение и равно 1/4. вательно, сумма Хх + Х*+...+Х„ равна числу т появлений события в п испытаниях, а значит, (Хх + Ха +... -f- Х„)/п = т/п. Учитывая ьто равенство, окончательно получим lim Р (| т/п — р | < е) = 1. Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство lim ( mjn)—p. В тео- п-+ * реме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании. Таким образом, сходимость относительной частоты т/п к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности»**. Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если т/п стремится при п—*■ со к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некоторого n = N и для всех последующих значений п неуклонно выполняется неравенство | т/п—р | < в; если же т/п стремится по вероятности к р при п —► оо, то для отдельных значений п неравенство может не выполняться. Итак, теорема Бернулли утверждает, что при п —► оо относительная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли записывают так: т вер К р. П п -► 0D Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности {см. гл. I, § 6—7). Задачи Сформулировать и записать теорему Чебышева, используя понятие «сходимости по вероятности». Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что | А: — Л1 (J4T) | < 0,1. если D(X) = 0,001. Отв. 0,9. Дано: Р(\Х — М (X) | < в) ^ 0,9; £>(Х)=0,004. Используя неравенство Чебышева, найти е. Отв. 0,2. *> Последовательность случайных величин Хх, Х2,... сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого е > 0 вероятность неравенства | Хп — X j < е при п—*-со стремится к единице.
|
