Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F (*)—функция распределения непрерыв­ной случайной величины X. По определению плотности распределения, / (х) = F' (х), или в иной форме

Как уже известно, разность /^(лг + Дл:)— F (х) опре­деляет вероятность того, что X примет значение, при­надлежащее интервалу ( х, лг + Дл:)- Таким образом, пре­дел отношения вероятности того, что непрерывная слу­чайная величина примет значение, принадлежащее интер­валу ( х, х+Дх), к длине этого интервала (при Ах—►О) равен значению плотности распределения в точке х.

По аналогии с определением плотности массы в точке ** целесообразно рассматривать значение функции f (лг) в точке х как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция f (х) определяет плотность распределе­ния вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что при­ращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

F (х -+ Ах) — F (х) ~ dF (х),

Или

F (х + Ах)—F(x) си F' (х) dx.

Так как F'(x) = f(x) и dx — Ax, то

F (х + Ах) — F (х) ~ / (лг) Ах.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероят­ность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, дс + Дх), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка от­носительно Ах) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Ах.

*> Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некото­рому закону, напрнмер F (х), то плотностью р (х) массы в точке х называют предел отношения массы интервала (*, х &^х) к длине

интервала при Ддс -»0, г. е. р (дс) = lim ^ ^9- ^ ^.

Дл~»0 Л*

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значе­ние, принадлежащее интервалу (х, х + Ах), приближенно

равна площади прямоуголь­ника с основанием Ах и вы­сотой f (х).

На рис. 5 видно, что пло­щадь заштрихованного пря­моугольника, равная произве­дению f (jc) Ах, лишь прибли­женно равна площади криво­линейной трапеции(истинной вероятности, определяемой определенным интегралом