Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
Задана функция F = cp(X) случайного аргумента X. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента. Пусть аргумент X —д искретная случайная величина с возможными значениями дг,, хг,..., хп, вероятности которых соответственно равны рх, рг, ..., рп< Очевидно, Y —также дискретная случайная величина с возможными значениями ух = ср (*,), у2 = ф (х2), уп = = ф (хп). Так как событие «величина X приняла значение х,» влечет за собой событие «величина Y приняла значение ф (х,)», то вероятности возможных значений К соответственно равны plt р2, ..., рп. Следовательно, математическое ожидание функции П м [ф (X)] =2ф (*,) р{. (*) i= I Пример 1. Дискретная случайная величина X задана распределением X 1 3 5 р 0,2 0,5 0,3 Найти математическое ожидание функции К=ф(Х) = Я2+1. Решение. Найдем возможные значения Y : <р(1) =)2+1 =2; ф(3) = 3*+1=10; Ф (5) =5*+1=26. Искомое математическое ожидание функции Y равно М [Х* +1] =2-0,2 +10-0,5+ 26-0,3= 13,2. Пусть аргумент X—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (х). Для отыскания математического ожидания функции У = ф (X) можно сначала найти плотность распределения g(y) величины У, а затем воспользоваться формулой ОО М 00= S yg(y)dy. —• 00 Однако если отыскание функции g(y) является затруднительным, то можно непосредственно найти математическое ожидание функции ф (X) по формуле М [ф (X)] = J ф (х) / (х) dx. В частности, если возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь ), то ь Л*[ф(Х)] = $ ф (x)f(x)dx. (**) а Опуская доказательство, заметим, что оно аналогично доказательству формулы (*), если заменить суммирование интегрированием, а вероятность — элементом вероятности f (х) Ах. Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (х) — sin я в интервале (0, я/2); вне этого интервала /(■*) = 0. Найти математическое ожидание функции К=-ф(Х)=ЛЛ Решение. Воспользуемся формулой (**). По условию, f (х)— >=sin;e, ф(х) = х2, а = 0, 6 = п/2. Следовательно, Я/2 М [ф (X)] = J х2 sin xdx. о
|
