Устойчивость нормального распределения
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: Z = Ф(Х, Y). Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции Z = X + Y по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если X — погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), Y — погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача — найти закон распределения суммы погрешностей Z = X + Y. Пусть X и Y —дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z = X-\-Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Пример 1. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями: X 1 2 Г 3 4 р 0,4 0,6 р 0,2 0,8 Составить распределение случайной величины Z = X-\-Y. Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возмож- нбго значения X со всеми возможными значениями Y\ z i — 1 | 3 4 j 2 2 - -1 -; - 4 52-j - 2 - * 3' 5; 2-{-4 = 6. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 4, достаточно, чтобы величина X приняла значение *i=I и величина Y — значение уг = 3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2. Аргументы X и Y независимы, поэтому события X— 1 и К = 3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z=l-|-3 = 4) по теореме умножения равна 0,4 0,2 = 0,08. Аналогично найдем: Р (Z = I +4 = 5) =0,4 0,8 = 0,32; Р (Z = 2+ 3 = 5) = 0,6-0,2 = 0,12; Р (Z = 2-(-4 = 6) =0,6-0,8 = 0,48. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событии Z = z2, Z = za (0,32 + 0,12 = 0,44): Z 4 5 6 р 0,08 0,44 0,4в Контроль: 0,08 + 0,44 + 0,48=1. Пусть X и Y —непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найдена с помощью равенства СО 8(*) = S fl(x)f2(z—x)dx (*) Со
|
