Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным

Вычисление центральных моментов требует до­вольно громоздких вычислений. Чтобы упростить рас­четы, заменяют первоначальные варианты условными.

Условным эмпирическим моментом порядка k называ­ют начальный момент порядка k, вычисленный для ус-

В частности,

Отсюда

x^MXh + C.

Таким образом, для того чтобы найти выборочную сред­нюю, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на А и к результату прибавить ложный нуль С.

Выразим обычные моменты через условные:

д,. 1_ _ M’k

^к А* п Л* ’

Отсюда

M-_k = M'_khK

Таким образом, для того чтобы найти обычный момент порядка k, достаточно условный момент того же порядка умножить на h *.

Найдя же обычные моменты, легко найти централь­ные моменты по равенствам (**) и (***) предыдущего параграфа. В итоге получим удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через ус­ловные:

т„ = [Mj— ЗМ\М\ + 2 (MI)⁸] h\

m_t = [M\ — 4M*MI+6M*(M*₁)²—3 ( M\Y]h*.

В частности, в силу (**) и соотношения (*) предыду­щего параграфа получим формулу для вычисления выбо­рочной дисперсии по условным моментам первого и вто­рого порядков

(***■*)

Техника вычислений центральных моментов по услов­ным описана далее.

Метод произведений дает удобный способ вычис­ления условных моментов различных порядков вариаци­онного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В част­ности, методом произведений удобно вычислять выбороч­ную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так:

в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастаю­щем порядке;

во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки п) помещают в нижнюю клетку столбца;

в третий столбец записывают условные варианты ы₁ = (х,— C)/h, причем в качестве ложного нуля С выби­рают варианту, которая расположена примерно в сере­дине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клет­ках над нулем пишут последовательно —1, —2, —3 и т.д., а под нулем—1, 2, 3 и т.д.;

умножают частоты на условные варианты и запи­сывают их произведения я,и,- в четвертый столбец; сло­жив все полученные числа, их сумму ^п_{и₍ помещают в нижнюю клетку столбца;

умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения п,и? в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму 2 ⁿ,uf поме­щают в нижнюю клетку столбца;

умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произве­дения П{(щ+ I)² в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму м,- (ы,- 1)^а помещают в нижнюю клетку столбца.

Замечание 1. Целесообразно отдельно складывать отрица­тельные числа четвертого столбца (их сумму А_г записывают в клет­ку строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положительные

числа (их сумму А_я записывают в предпоследнюю клетку столбца); тогда + Л •

Замечание 2. При вычислении произведений я/u* пятого столбца целесообразно числа П/и/ четвертого столбца умножать на и/.

Замечание 3. Шестой столбец служит для контроля вычис­лений: если сумма '£п{(и{+1)* окажется равной сумме 2 ⁿl^u*l + -}- 2 2 ^п1^и1+^п (^{как я} Д°^лжн0 быть в соответствии с тождеством

2»f(«i'+ 0* = 2^л*^ц<+²2^П/“'+ ^п)’ ^{то вычис}ления проведены правильно.

После того как расчетная таблица заполнена и про­верена правильность вычислений, вычисляют условные моменты:

М1 = (2 niUf)/n, Mt = (%n_luj)/n.

Наконец, вычисляют выборочные среднюю и диспер­сию по формулам (*) и (****) § 3:

х, = M\h + С, D. = [Af;—(MI)*] Л².

Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения: варианты 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,0 11,8 12,0 частоты 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего:

запишем варианты в первый столбец;

запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) по­местим в нижнюю клетку столбца;

в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта вариан­та расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбран­ный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно —1, —2, —3, —4, а под нулем — 1, 2, 3, 4, 5;

произведения частот иа условные варианты записываем в чет­вертый столбец; отдельно находим сумму (—46) отрицательных и от­дельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в иижнюю клетку столбца;

произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца;

произведения частот иа квадраты условных вариант, увели­ченных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца.

В итоге получим расчетную табл. 7.

Контроль: 2 «/“ < + 22 «.•«; + «= 383 + 2 • S7 + 100 = 697.

«Г <«/ +!)* = 597.