Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным
Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчеты, заменяют первоначальные варианты условными. Условным эмпирическим моментом порядка k называют начальный момент порядка k, вычисленный для ус- В частности,
Отсюда x^MXh + C. Таким образом, для того чтобы найти выборочную среднюю, достаточно вычислить условный момент первого порядка, умножить его на А и к результату прибавить ложный нуль С. Выразим обычные моменты через условные: д,. 1_ _ M’k к А* п Л* ’ Отсюда M-k = M'khK Таким образом, для того чтобы найти обычный момент порядка k, достаточно условный момент того же порядка умножить на h *. Найдя же обычные моменты, легко найти центральные моменты по равенствам (**) и (***) предыдущего параграфа. В итоге получим удобные для вычислений формулы, выражающие центральные моменты через условные: т„ = [Mj— ЗМ\М\ + 2 (MI)8] h\ mt = [M\ — 4M*MI+6M*(M*1)2—3 ( M\Y]h*. В частности, в силу (**) и соотношения (*) предыдущего параграфа получим формулу для вычисления выборочной дисперсии по условным моментам первого и второго порядков (***■*) Техника вычислений центральных моментов по условным описана далее. Метод произведений дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти интересующие нас начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется так: в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке; во второй столбец записывают частоты вариант; складывают все частоты и их сумму (объем выборки п) помещают в нижнюю клетку столбца; в третий столбец записывают условные варианты ы1 = (х,— C)/h, причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки, содержащей выбранный ложный нуль, пишут 0; в клетках над нулем пишут последовательно —1, —2, —3 и т.д., а под нулем—1, 2, 3 и т.д.; умножают частоты на условные варианты и записывают их произведения я,и,- в четвертый столбец; сложив все полученные числа, их сумму ^п{и( помещают в нижнюю клетку столбца; умножают частоты на квадраты условных вариант и записывают их произведения п,и? в пятый столбец; сложив все полученные числа, их сумму 2 n,uf помещают в нижнюю клетку столбца; умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения П{(щ+ I)2 в шестой контрольный столбец; сложив все полученные числа, их сумму м,- (ы,- 1)а помещают в нижнюю клетку столбца. Замечание 1. Целесообразно отдельно складывать отрицательные числа четвертого столбца (их сумму Аг записывают в клетку строки, содержащей ложный нуль) и отдельно положительные числа (их сумму Ая записывают в предпоследнюю клетку столбца); тогда + Л • Замечание 2. При вычислении произведений я/u* пятого столбца целесообразно числа П/и/ четвертого столбца умножать на и/. Замечание 3. Шестой столбец служит для контроля вычислений: если сумма '£п{(и{+1)* окажется равной сумме 2 nlu*l + -}- 2 2 п1и1+п (как я Д°лжн0 быть в соответствии с тождеством 2»f(«i'+ 0* = 2л*ц<+22П/“'+ п)’ то вычисления проведены правильно. После того как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, вычисляют условные моменты: М1 = (2 niUf)/n, Mt = (%nluj)/n. Наконец, вычисляют выборочные среднюю и дисперсию по формулам (*) и (****) § 3: х, = M\h + С, D. = [Af;—(MI)*] Л2. Пример. Найти методом произведений выборочные среднюю и дисперсию следующего статистического распределения: варианты 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,0 11,8 12,0 частоты 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 Решение. Составим расчетную таблицу, для чего: запишем варианты в первый столбец; запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца; в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (эта варианта расположена примерно в середине вариационного ряда); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей выбранный ложный нуль, пишем 0; над нулем записываем последовательно —1, —2, —3, —4, а под нулем — 1, 2, 3, 4, 5; произведения частот иа условные варианты записываем в четвертый столбец; отдельно находим сумму (—46) отрицательных и отдельно сумму (103) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (57) помещаем в иижнюю клетку столбца; произведения частот на квадраты условных вариант запишем в пятый столбец; сумму чисел столбца (383) помещаем в нижнюю клетку столбца; произведения частот иа квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, запишем в шестой контрольный столбец; сумму (597) чисел столбца помещаем в нижнюю клетку столбца. В итоге получим расчетную табл. 7. Контроль: 2 «/“ < + 22 «.•«; + «= 383 + 2 • S7 + 100 = 697. «Г <«/ +!)* = 597.
|
