В. Найти методом моментов точечные оценки параметров аир гамма-распределения
/<*> = ■ р«+1Г(«+ 1) (а > “Ь Р>°- *^°>- Указание. Сделать подстановку у=х/р и, используя гамма- 00 функцию Г (л) = J xn~1e-xdx, найти сначала М (X) = (а + 1) р, о D (X) = (oc-f- 1) р2, а затем приравнять М(Х)=хв, D(X) = DB. Отв. а* = (*1/Ов)— 1; р* = £>„/хв. 17. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке хи х%,..., хп точечную оценку неизвестного параметра р гамма-распределения, если параметр а известен. Указание. Использовать плотность гамма-распределения, приведенную в задаче 16- Отв. р*=1в/(а+ *)• Глава семнадцатая МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ Условные варианты Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т. е. в виде вариационного ряда. Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Условными называют варианты, определяемые равенством “/ = (*/— C)/h, где С —ложный нуль (новое начало отсчета); Л—шаг, т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба). Упрощенные методы расчета сводных характеристик выборки основаны на замене первоначальных вариант условными. Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом Л, то условные варианты есть целые ч и с л а. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например хт. Тогда */—хт _ x1 + (i—l)h — [x1 + (m—l)h]. _ ui h h 1~Ш- Так как i и m —целые числа, то их разность i—т = = и {—также целое число. Замечание 1. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту). Замечание 2. Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю. Пример. Найти условные варианты статистического распределения: варианты... 23,6 28,6 33,6 38,6 43,6 частоты... 5 20 50 15 10 Решение. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6 («та варианта расположена в середине вариационного ряда). Найдем шаг: Л = 28,6 — 23,6 = 5. Найдем условную варианту: “i = (*i—С)/А = (23,6 — 33,6)/5= —2. Аналогично получим: иа = —1, ы3 = 0, ы4=1, иь = 2. Мы видим, что условные варианты — небольшие целые числа. Разумеется, оперировать с ними проще, чем с первоначальными вариантами.
|
