Пример 1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра А. распределения Пуассона
Рш (X = *,)=-^j-, где т — число произведенных испытаний, X /—число появлений события в i-м (i=l, 2 я) опыте (опыт состоит из т испытаний). Решение. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что 0=Х: L = p (xi; Х)р(х2; к)... р (х„\ X) = X*» е~х f Xх» е~х Х*л-е~х • е~"Х лех1 * ха1 ' ’' лг„! jcx!jca!.. x„l ' Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: Jnt = (Sx,) 1пх— пХ —1п (х1,хг!... *„!). Найдем первую производную по X: d\nL 2*' ~Ж~~~ X "■; Напншем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную иулю: (2ж«А)-«=0- Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно Я,: X — Xjjti = хв. Найдем вторую производную по Я,: d2 \nL 2*' dX2 — X2 • Легко видеть, что при Х = ха вторая производная отрицательна; следовательно, Я, = хв— точка максимума и, значит, в качестве оценка наибольшего правдоподобия параметра А. распределения Пуассоиа надо принять выборочную среднюю Х* = хв. Пример 2. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра р биномиального распределения Рп W =СяР* (1 —р)п~к, если в п 1 независимых испытаниях событие А появилось х1 = тг раз и в па независимых испытаниях событие А появилось ха = т2 раз. Решение. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что 0 = р: L = P„t (/пх) Я„, (ma)==C£«C£*pm«+m* (1 -р)[(п‘ + Найдем логарифмическую функцию правдоподобия: lnL = ln(C”*C”,) + (mlH-ma) In p + [(niH-na) — (ячН-т*)] In (1—р). Найдем первую производную по р: din Lт1 + та (ni + na)— (ff»i + /n2) dp ~ р 1—р Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю- m1 + mi (n1-\-ni) — (mi + m2) Q Р 1—Р Найдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно р: р = (т1 + т2)1(п1-\-па). Найдем вторую производную по р: т1-\-та. (ПхН-Пг) — (mi +»*3) dpа р5 I" (1—Р)2 Легко убедиться, что при р = (т1-\-та)/(п1-\-па) вторая производная отрицательна; следовательно, P = (»i1H-m2)/(n1-)-n2)—точка максимума и, значит, ее надо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности р биномиального распределения: Р* = ("Ч + «12)/(Л! + пя). Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X — непрерывная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х1г ха, ..., хп. Допустим, что вид плотности распределения f (х) задан, но не известен параметр 0, которым определяется эта функция. Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины X называют функцию аргумента 0: ^ (* 1, *2 хп> 0) = / (* i; 6) f (*«; 0)...f (x„; 0), где xlt xa, ..., x n—фиксированные числа. Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной величины.
|
