Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство
s—б < о < s + 6 в равносильное неравенство s (1 — б/s) < а < s (1 + б/s). Положив б!s=tq, получим s(l— q) < a <s (1 + q). (*) Остается найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»: x = (S/a) Vn— 1, где п —объем выборки. Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина Sa(n—1)/аа распределена по закону х* с п —1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через %. Плотность распределения % имеет вид (см. пояснение в конце параграфа) (**) Это распределение не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит лишь от объема выборки п. Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид %1 < % < %2- Вероятность этого неравенства (см. гл. XI, § 2) равна заданной вероятности у, т. е. j R(X, n) dy^ — y. Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так: S(l+0 < a < S(1 — q)' Умножив все члены неравенства на S п —1, получим Или Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна vn- l/(l - q )
Из этого уравнения можно по заданным пну найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей приложения 4. Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий а с заданной надежностью у, т. е. интервал s(l— q) <а< s(l +?). Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,95. Решен'ие. По таблице приложения 4 по данным у = 0,95 и я = 25 найдем?*=0,32. Искомый доверительный интервал (*) таков: 0,8 (1—0,32) < а < 0,8 (1 + 0,32), или 0,544 < с < 1,056. Замечание. Выше предполагалось, что q < I. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что а > 0) 0 < а < s (1-Н), или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1) Уп — 1/(1 +?) < % < оо. Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения ОО $ Я(х. n)d% = у. vim/u+Q) Практически для отыскания значений q > 1, соответствующих различным заданным п и у, пользуются таблицей приложения 4. Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с с надежностью 0,999. Решение. По таблице приложения 4 по данным у = 0,999 и л=10 найдем <7=1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков: < а < 0,16(1 + 1,80), или 0 < а < 0,448. Пояснение. Покажем, что плотность распределения х имеет вид (**). Если случайная величина X распределена по закону X * с k — n — 1 степенями свободы, то ее плотность распределения (см. гл. XII, § 13) х[к/ я) —1 е—дс/я или после подстановки k = n —1 /<*> = Воспользуемся формулой (см. гл. XII, § 10) Я (У) = / (у)] (У)|, чтобы найти распределение функции х=Ф (X)=V~X (х>0). Отсюда обратная функция * = ^ (X) = X2 и -ф' (х) = 2х- Так как % > 0, то | я|э' (х) | = 2%, следовательно, а)/2 _-*•/а 8(%)~f И>(х)]■ IЧ>' (х)I ==■ — — У,—1\"; * 2Х- 2<n-i)/a г Выполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g(x)* заменим на R п)), окончательно получим vn-2 -- Х*/Я Жх. «)-—х—- 2<П- *)/2 р
|
