Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше,— точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже). Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика 0* служит оценкой неизвестного параметра 0. Будем считать 0 постоянным числом (0 может быть и случайной величиной). Ясно, что 0* тем точнее определяет параметр 0, чем меньше абсолютная величина разности |0—0* |. Другими словами, если б>0 и [0 — 0*| < б, то чем меньше б, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число б характеризует точность оценки. Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка 0* удовлетворяет неравенству J0—0* | < б; можно лишь говорить о вероятности у, с которой это неравенство осуществляется. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки 0 по 0* называют вероятность у, с которой осуществляется неравенство |0 — 0* | < б. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве у берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999. Пусть вероятность того, что |0—0*|<6, равна yi Р[|0—0*| < б] = у Заменив неравенство | 0—0* | < б равносильным ему двойным неравенством — 6<0—0*<б, или 0* — б < 0 < <0* + б, имеем Р [0* — б < 0 < 0* + б] = у. Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал (0* — б, 0* + б) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр 0, равна у. Доверительным называют интервал (0* — б, @* + 6), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью у. Замечание. Интервал (0* — б, 0*-|-б) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения в*. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами—функциями от хх, х2 хп. Так как случайной величиной является ие оцениваемый параметр 0, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания 0 в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет 0. Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.
|
