П, 20 15 10 5 Найти выборочную дисперсию.
Решение. Найдем выборочную среднюю (см. § 4): - 20-1 + 15-2+10-3-1-5.4 100 „ Х* 20+15+10 + 5 50 Найдем выборочную дисперсию: „ 20(1—2)»+ 15-(2—2)а+ 10(3 —2)л+5-(4—2)а и в jo = 50/50=1. Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: oB = VDB. Вычисление дисперсии, безразлично—выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему. Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: D= х2—[х]2. Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из преобразований: D (Xj —х)а _ 2] n, (xf—2x(7+ [*]») ^ N n = — 2x — + [x]2 = x* — 2x • x -j- [x]2 =■; = *2— [jcJ2. Итак, D = —[x]s, где *=■ (2rt/*/)/rt- ха = (2«,л?)/«- Пример. Найти дисперсию по данному распределению х,- 1 2 3 4 щ 20 15 10 5 Решение. Найдем общую среднюю: 20-1 + 15 2+ 10-3 + 5.4 100 п Х 20+15+10 + 5 — 50 Найдем среднюю квадратов значений признака 20 -1*+ 15-22+ Ю-32 + 5-42 с 50 =5‘ Искомая дисперсия D = x* — [х]2 = 5 — 2* = 1. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично—генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значений при-
|
