Генеральная средняя
Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X. Генеральной средней хг называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения xlt xt, ..., х^ признака генеральной совокупности объема N различны, то *г = (*1 + xi + • ■ • + Xn)/N. Если же значения признака хх, хъxk имеют соответственно частоты Nlt ..., N k, причем Nx -f -f- N j -I-... Ч- N k — N, to xr = +лгаЛГ, +... + xkNk)/N, т. е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам. Замечание. Пусть генеральная совокупность объема N содержит объекты с различными значениями признака X, равными xlt х2 *лг. Представим себе, что из этой совокупности наудачу извлекается один объект. Вероятность того, что будет извлечен объект со значением признака, например хи очевидно, равна 1/N. С этой же вероятностью может быть извлечен и любой другой объект. Таким образом, величину признака X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой дс1( х2хп имеют одинаковые вероятности, равные 1/N. Найдем математическое ожидание М(Х): М (X) = 1 /iV х 2* 1 /N -f-... -|- х дг* 1/N — —|— дг2 —|—... + xj*/)!N — хг. Итак, если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равио генеральной средней этого признака: М (X) =хг. Этот вывод мы получили, считая, что все объекты генеральной совокупности имеют различные значения признака. Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содержит по нескольку объектов с одинаковым значением признака. Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака X, и в этом случае определим генеральную среднюю как математическое ожидание признака: 7Г = /И (X).
|
