Где у — заданная надежность.

где t = bVn Iо.

Р (| Х—а | < to!VT) = 2Ф (О-

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна у. окончательно имеем (чтобы получить рабочую

формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через х) Р (х — tolY~n < а < х+ taj]/~n) — 2Ф

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно утверждать, что доверительный интервал (jc— taiVn, x + ioiyn ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки б = £а/|/я.

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число i определяется из равенства 2Ф(/) = 7, или Ф(£)=у/2; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент t, которому соот­ветствует значение функции Лапласа, равное -у/2.

Замечание 1. Оценку \х—а | < ta/ У п называют классиче­ской. Из формулы 6 = <а/ Уп, определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:

при возрастании объема выборки п число б убывает и, следо­вательно, точность оценки увеличивается;

увеличение надежности оценки -у = 2Ф(*) приводит к увеличе­нию t (Ф (/) — возрастающая функция), следовательно, и к возраста­нию 6; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением о = 3. Найти дове­рительные интервалы для оценки неизвестного математического ожи­дания а по выборочным средним х, если объем выборки я = 36 и задана надежность оценки 7 = 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(?) = 0,95 получим Ф(<) = 0,475. По таблице приложения 2 находим f=I,96.

б = to/ Vn =(1,96-3)//36 = 0,98.

Доверительный интервал таков: ( х —0,98; *4-0,98). Например, если х — 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные Границы:

х— 0,98 = 4,1 — 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,14- 0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласую­щиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 <а <5,08) = 0,95. Действительно, так как а — постоянная величина, то либо она заклю­чена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < в < 5,08 досто­верно и его вероятность равиа единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12<а<5,08 невозможно и его вероят­ность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было ука­зано, изменяются от выборки к выборке.