В частности, если критические точки симметричны
относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что/гкр>0): К <—Акр, К > &кр, или равносильным неравенством |/С|> >Акр (рис. 23,б). § 5. Отыскание правосторонней критической области Как найти критическую область? Обоснованный ответ на этот вопрос требует привлечения довольно сложной теории. Ограничимся ее элементами. Для определенности начнем с нахождения правосторонней критической области, которая определяется неравенством /С > &кр, где &кр > 0- Видим, что для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку. Следовательно, возникает новый вопрос: как ее найти? Для ее нахождения задаются достаточной малой вероятностью— уровнем значимости а. Затем ищут критическую точку kKV, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее йкр, была равна принятому уровню значимости: Р(К> 6кр)=а. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию. Замечание I. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюденное значение критерия и, если окажется, что /С„абл > ^кр. то нулевую гипотезу отвергают; если же Киабя < &кр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Пояснение. Почему правосторонняя критическая область была определена исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось соотношение P(K>k кр) = а? (*) Поскольку вероятность события K>kKV мала (а—малая вероятность), такое событие при справедливости нулевой гипотезы, в силу принципа практической невозможности маловероятных событий, в единичном испытании не должно наступить (см. гл. II, § 4). Если все же оно произошло, т. е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше &кр, то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким образом, требование (*) определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а они и составляют правостороннюю критическую область. Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия может ока - еаться большим ккр не потому, что нулеваи гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости а. Итак, пользуясь требованием (*), мы с вероятностью а рискуем совершить ошибку первого рода. Заметим кстати, что в книгах по контролю качества продукции вероятность признать негодной партию годных изделий называют «риском производителя», а вероятность принять негодную партию — «риском потребителя». Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения, еще не доказывает его. Поэтому более правильно говорить «данные наблюдений согласуются с кулевой гипотезой и, следовательно, не дают оснований ее отвергнуть».
|
