Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия
Мы строили критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна а при условии, что нулевая гипотеза справедлива. Оказывается целесообразным ввести в рассмотрение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедлива конкурирующая. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза. Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости и выборка имеет фиксированный объем. Остается произвол в выборе критической области. Покажем, что ее целесообразно построить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Предварительно убедимся, что если вероятность ошибки второго рода *> Определение мощности дано в § 7. (принять неправильную гипотезу) равна р, то мощность равна 1—р. Действительно, если р — вероятность ошибки второго рода, т. е. события «принята нулевая гипотеза, причем справедлива конкурирующая», то мощность критерия равна 1—р. Пусть мощность 1—р возрастает; следовательно, уменьшается вероятность р совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем вероятность ошибки второго рода меньше. Итак, если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требова* ния должно обеспечить минимальную ошибку второго рода, что, конечно, желательно. Замечание 1. Поскольку вероятность события «ошибка вто» рого рода допущена» равна р, то вероятность противоположного события «ошибка второго рода не допущена» равна 1—р, т. е. мощности критерия. Отсюда следует, что мощность критерия есть веро* ятность того, что не будет допущена ошибка второго рода. Замечание 2. Ясно, что чем меньше вероятности ошибок первого и второго рода, тем критическая область «лучйле». Однако при заданном объеме выборки уменьшить одновременно аир невозможно; если уменьшить а, то р будет возрастать. Напрнмер, если принять а = 0, то будут приниматься все гипотезы, в том числе и неправильные, т. е. возрастает вероятность Р ошибки второго рода. Как же выбрать а наиболее целесообразно? Ответ на этот вопроо зависит от «тяжести последствий» ошибок для каждой конкретной задачи. Например, если ошибка первого рода повлечет большие потери, а второго рода—малые, то следует принять возможно меньшее а.
|
