Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.
Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве нескольких дисперсий называют гипотезой об однородности дисперсий . Заметим, что числом степеней свободы дисперсии s® называют число kj = П/ —1, т. е. число, на единицу меньшее объема выборки^ по которой вычислена дисперсия. Обозначим через s 2 среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы: г где k — 2 */• i— 1 В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта — случайную величину B = V/C, Где = 2,303 jj^fe lg sa — lg s? j, c = 1 +Т(Г=ГТ) [Z t] • Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как с I —1 степенями свободы, если все kt > 2. Учитывая, что —1, заключаем, что п{ — 1 > 2, или nt > 3, т. е. объем каждой из выборок должен быть не меньше 4. Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: р[в >х£р(а; I— !)]=“• Критическую точку х«р(а’*—*) находят по таблице приложения 5, по уровню значимости а и числу степеней свободы k = I — 1, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством В > х«р» а область принятия гипотезы—неравенством В < Хкр- Обозначим значение критерия Бартлетта, вычисленное по данным наблюдений, через Внабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта B = V/C и по таблице критических точек распределения хг найти критическую точку х*р («; I —!)• Если Внабл < Хкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Внабл > Хкр—нулевую гипотезу отвергают. Замечание 1. Не следует тор9пнться вычислять постоянную С. Сначала надо найти V и сравнить с Хкр1 если окажется, что < Хкр, то подавно (так как С > 1) B=(V/C) < Хкр н, следовательно, С вычислять не нужно. Если же V > Хкр, то надо вычислить С и затем сравнить В с Хкр- Замечание 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам, полученным по этому критерию, надо относиться с осторожностью. Таблица 25
Пример. По четырем независимым выборкам, объемы которых соответственно равны ^=10, п2= 12, п* = 15, nt= 16, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25; 0,40; 0,36; 0,46. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя). Решение. Составим расчетную табл. 25 (столбец 8 пока заполнять ие будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычислять С). Пользуясь расчетной таблицей, найдем: 7а = (2 kiS()/k = 18,99/50 = 0,3798; lg0,3798 = П5795; = 2,303 [> lg sa — 2 */ lg *?] = 2,303 [50.7,5795 — 22,5305] == 1,02. По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы I —1=4—1=3 находим критическую точку Хкр (0,05; 3) = 7,8. Так как V < Хкр, то подавно (поскольку С > 1) Bnafa = (V/C) < < Хкр и> следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо. Замечание 3. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы, т. е. sa = (2*/s?)/*•
|
