Решение, а) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид
а < а0, критическая область—левосторонняя. Пользуясь правилом 3 (см, § 13, п. А), найдем критическую точку: ^кр = —1,65. Следовательно, левосторонняя критическая область оп- ределяется неравенством U < —1,65, или подробнее (х— 20) /25/10 <—1,65. Огаода х < 16,7. При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле *=16,7 можно рассматривать как критическое значение выборочной средней. б) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т. е. при а0=16), положив х— 16,7; U = (х— а0) У~п1а = (16,7—16) /25/10 = 0,35. Отсюда видно, что еслн х < 16,7, то U < 0,35. Поскольку при х < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при U < 0,35 она также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как'мы положили а0=16). Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т. е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза (см. § 7): P(U < 0,35) = Р (— оо < U < 0,35) = Р (—ос, < U < 0) + + Я(0< U < 0,35) = 0,5+ Ф (0,35) = 0,5 + 0,1368 = 0,6368. Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится. Например, при л =64 мощность равна 0,71. Если увеличить а, то мощности также увеличится. Например, при а = 0,1 мощность равна 0,7642. Замечание. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода: р=1—0,64. (Разумеется, прн решении примера можно было сначала ианти р, а затем мощность, равную 1—р.)
|
