Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
Пусть по достаточно большому числу п независимых испытаний; в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота т/п. Пусть имеются основания предполагать, что неизвестная вероятность равна гипотетическому значению р0. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетической вероятности р0. Поскольку вероятность оценивается по относительной частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются наблюдаемая относительная частота и гипотетическая вероятность. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину U = (М/п — р0) VnlVp^l, где qa = 1—ро- Величина V при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами М (f/) = 0, о(1/) = 1. Пояснение. Доказано (теорема Лапласа), что при достаточно больших значениях п относительная частота имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением У pq/n. Нормируя относительную частоту (вычитая математическое ожидание и деля на среднее квадратическое отклонение), получим U __М/п—р _(М/п—р) Vh У pq/n Уря ’ причем М (U) — 0, a(U)— 1. При справедливости нулевой гипотезы, т. е. при р = р0, II _ (М/п — Ро) У~п Замечание 1. Далее наблюдаемая частота обозначается через т/п в отлнчие от случайной величины М/п. Поскольку здесь критическая область строится так же, как и в § 10, приведем лишь правила проверки нулевой гипотезы и иллюстрирующий пример. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Я0:р = р0 о равенстве неизвестной вероятности гипотетической вероятности при конкурирующей гипотезе Нг:рФр0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия: ^набл = {т/п — ро) VnjV Ро9о и по таблице функции Лапласа найти критическую точку ыкр по равенству Ф(икр) = (1—а)/2. Если | t/вабл I < ыкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | t/вабл I>wkp—нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Я1:р>р0 находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(мвр) = (1—2а)/2. Если 1/иа6л < ыкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если t/навл > “кр—нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При конкурирующей гипотезе Ях:р <Ро находят критическую точку ыкр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области ыкр = и?р. Если £/„,бл>—ыкр—нет основании отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/вабл<—«кр—нулевую гипотезу отвергают. Замечание 2. Удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства np0q0 > 9. Пример. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота 0,08. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Яо:р = ро = 0,12 при конкурирующей гипотезе Нх:р Ф 0,12.
|
