А. Дисперсия генеральной совокупности известна.
Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению а0. Например, если X —совокупность размеров х( партии деталей, изготовляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генеральная средняя а этих размеров равна проектному размеру а0. Чтобы проверить это предположение, находят выборочную среднюю х и устанавливают, значимо или незначимо различаются х и а0. Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то станок требует под- наладки. Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можно получить достаточно хорошую оценку дисперсии). Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена выборочная средняя х, причем генеральная дисперсия <та известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0:а = а0 о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а0. Учитывая, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (см. гл. XVI, § 5), т. е. М(Х)=а, нулевую гипотезу можно записать так: М (Х) = а0. Таким образом, требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину U=(X-a0)/o(X) = (X-a0)VT/a, которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы M(U) = 0, o(U)— 1. Поскольку здесь критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы* так же как в § 10, ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы, обозначив значение критерия U, вычисленное по данным наблюдений, через U на6л. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0:а = а0 о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией а2 гипотетическому значению а0 при конкурирующей гипотезе Ht:a^a0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия: ^набл = (^—а0) Vn/o
|
