Ь Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
В предыдущем параграфе предполагалось, что генеральные совокупности X и Y распределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях в случае справедливости нулевой гипотезы о равенстве средних и независимых выборках критерий Z распределен точно нормально с параметрами 0 и 1. Если хотя бы одно из приведенных требований н^ выполняется, метод сравнения средних, описанный в § 10, неприменим. Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий и в этом смысле их можно считать известными приближенно. В итоге критерий У DB (X)/n + DB (Y)/m распределен приближенно нормально с параметрами M(Z') = 0 (при условии справедливости нулевой гипотезы) и o(Z')—l (если выборки независимы). Итак, если: 1) генеральные совокупности распределены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) генеральные совокупности не распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы,— можно сравнивать средние так, как описано в § 10, заменив точный критерий Z приближенным критерием Z'. В этом, случае наблюдаемое значение приближенного критерия таково: Уг X У у DB (X)/n + DB(Y)/m Замечание. Поскольку рассматриваемый критерий — прибли* женный, к выводам, полученным по этому критерию, следует относиться осторожно. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны п =100 и т=120, найдены выборочные средние х = 32,4, у = 30,1 и выборочные дисперсии DB(X)= 15,0, DB(Y) — 2b,2. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н0\ М (X) = = М(К), при конкурирующей гипотезе Нг: M(X)^M(Y). Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисления наблюдаемого значения приближенного критерия, получим ^набл — 3,83. По условию, конкурирующая гипотеза имеет внд М (X) > М (V), поэтому критическая область — правосторонняя.
|
