Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
Пусть генеральные совокупности X и У распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны пит, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние х и у. Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е. H0iM (X) — М (Y). Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних (см. гл. XV, § 5), т. е. М(Х) = Л1(Х) и М (Y) = М (У), нулевую гипотезу можно записать так: Н0:М (X) = M(Y). Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние? Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки. Например, если физические величины А и В имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические х и у результатов измерений этих величин раз» личны, то это различие незначимое. Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генёральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны. Например, если среднее арифметическое х результатов измерений физической величины А значимо отличается от среднего арифметического у результатов измерений физической величины В, то это означает, что истийные размеры (математические ожидания) этих величин различны. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину ^ X—Y _ X — Y ~ о (X—Y) Yd (X)/n+D(Y)/m * Эта величина случайная, потому что в различных опытах х а у принимают различные, наперед неизвестные значения. Пояснение. По определению среднего квадратического отклонения, а(Х — У) = К D(X — Y). На основании свойства 4 (см. гл. VIII, § 5), D (X —У) = D(X) + D (У). _ По формуле (*) (см. гл. VIII, § 9), D(X) = D(X)/ti, D (У) = D (Y)/m.
|
