Прежде чем определить винеровский процесс, введем предварительно понятия нормального процесса и процесса с независимыми приращениями.
Случайный процесс X (/) называют нормальным (гауссовым), если совместное распределение X (/,), X (/,),.... X (/ft) является нормальным для каждого к и всех // (| = 1, 2 к). Нормальный процесс полностью определяется его характеристиками: математическим ожиданием и корреляционной функцией. Случайный процесс X (0 называют процессом с независимыми приращениями, если его приращения иа непе- рекрывающихся интервалах взаимно независимы, т. е. случайные величины X(/,)—X (tt), X(/,)—X (tt),..., X(tk)—X (/*_!> для tt < tt взаимно незави симы. Процесс с независимыми приращениями определяется распределением приращений X (/) — X(s) для произвольных t и s. Если приращение X (О —X (s) зависит только от разности /— s, то процесс называют процессом со стационарными приращениями. Винеровским процессом (процессом броуновского движения) называют нормальный случайный процесс X (/) с независимыми стационарными приращениями, для которого Х(0) = 0, М [X (0] — О, М[Х (0Ч=а*/ для всех / > О. Важное значение винеровского процесса состоит в том, что ои используется при изучении многих других случайных процессов. Марковский случайный процесс. Используем терминологию, введенную в гл. XXII, § 1. Пусть в каждый момент времени некоторая система может находиться в одном из состояний £,, Ег,... (число состояний конечно или счетио). Если система случайно переходит из одного состояния, например в другое, например Е }, то говорят, что в системе происходит случайный процесс. Если при этом вероятность перехода из состояния Е{ в состояние Е/ зависит только от состояния Е,- и не зависит от того, ногда и как система пришла в это состояние, то случайный процесс X (/) называют марковским. Другими словами, если для каждого момента времени /в протекание случайного процесса X (/) в будущем (при / > /„) определяется его настоящим (значением X (/,)) и не зависит от прошлого (от значений X (t) при t < tt), то X (() — марковский случайный процесс. Различают марковские процессы с дискретным множеством состояний (число состояний конечно или счетно, переходы из состояния в состояние происходят скачком) и с непрерывным множеством состояний, а также различают процессы с дискретным временем (моменты переходов фиксированны) и с непрерывным временем (моменты переходов случайны). В качестве примера рассмотрим процесс обслуживания простейшего потока заявок системой массового обслуживания с ожиданием (в такой системе заявка «становится в очередь», если все каналы заняты) и показательным временем обслуживания; покажем, что этот процесс является марковским. Допустим, что в момент времени t0 система находилась в некотором определенном состоянии (обслуживается некоторое число заявок, причем обслуживание каждой из них уже длилось определенное время). Назовем условно «будущим обслуживанием» обслуживание для моментов времени t > t0, которое определяется: а) длительностью оставшегося времени обслуживания заявок, поступивших до момента ta;
|
