А. Пример расчета многоканальной системы массового обслуживания с отказами методом Монте—Карло
Пусть в систему массового обслуживания с отказами (заявка покидает такую систему, если все каналы заняты), состоящую из N каналов, поступает простейший поток заявок (см. гл. VI, § 6), причем плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными заявками задана: / (Т) = Ье-к (\ > О, О < т < оо). Каждая заявка поступает в первый канал. Еслн первый канал свободен, то он обслуживает заявку; если первый канал занят, то заявка поступает во второй канал, обслуживается им (если канал свободен) или передается в третий канал (если первый и второй каналы заняты) и т. д. В случае, если в момент поступления заявки все каналы заняты, наступает отказ, т. е. поступившая заявка не обслуживается и из дальнейшего рассмотрения исключается. Ведется подсчет числа обслуженных заявок и числа отказов. Если заявка обслужена, то в «счетчик обслуженных заявок» добавляют единицу; при отказе единицу добавляют в «счетчик отказов». Ставится задача: найти математические ожидания числа обслуженных заявок и числа отказов за заданное время Т. Для решения этой задачи производят п испытаний, каждое длительностью Т, и определяют в каждом испытании число обслуженных заявок н число отказов. Введем обозначения: *обсл—длительность обслуживания заявки каналом; ti —момент освобождения i-ro канала; Tk — момент поступления k-й заявки; тА—длительность времени между поступлениями &-й и (/г + 1)-й заявок; Tk+x — Tk + i k—момент поступления (/г+1)-й заявки, п — число испытаний. Пусть первая заявка поступила в момент 7\ = 0, когда все каналы свободны. Эта заявка поступит в первый канал и будет им обслужена за время /обсд. В счетчик обслуженных заявок надо записать единицу. Разыграем момент 7% поступления второй заявки, для чего выберем случайное число г, и разыграем Tj (учитывая, что т распределено по показательному закону) по формуле (см. гл. XXI, § 7, пример 2) Tt = — (1/Х.) In г,. Следовательно, вторая заявка поступит в момент времени Г, — ^,1 + т1 = 0 + т1 = т1. Если окажется, что t1^Ti (вторая заявка поступила. после того, как первый канал освободился), то вторая заявка будет обслужена первым каналом и в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу. Если же окажется, что tt > Tt, то первый канал занят, и заявка поступит во второй канал и будет им обслужена, поскольку расчет начат в предположении, что все каналы свободны; в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу. Дальнейший расчет производится аналогично. Если в некоторый момент времени поступления очередной заявки все каналы заняты, то наступает отказ и в счетчик отказов надо добавить единицу. Испытание заканчивается, если очередная заявка поступит в момент времени, превышающий момент окончания испытания, т. е. если Тк+1>Т. В итоге i -го испытания в счетчиках окажутся соответственно число обслуженных заявок Miofl сл и число отказов MiorK. Пусть произведено всего п испытаний, каждое длительностью Т, причем & i -м испытании зарегистрировано л,обсл обслуженных заявок и л10тк отказов. В качестве оценок искомых математических ожиданий принимают выборочные средние: П П М< обсл 2 м‘( №[*09*1 = '-^-=. М*Ктк]=‘^— Для вычисления наименьшего числа испытаний, которые с надежностью у обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки Ь, можно использовать формулу (см. гл. XVI, $ 16, замечание 2) /*и* П"“”8Г» где t находят по равенству Ф (/) = у/2, о =* 1А (см. гл. XIII, § 3). Пусть, например, известны среднее квадратическое отклонение а ■= 4 и у* 0,95, в «* 0,7. Тогда Ф (/) = 0,95/2 «=* -0,475 и /«1,96.
|
