Дельта-функция
Дельта-функция б (/) является примером обобщенной функции (обобщенная функция —предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции f(t) ее значение при * = 0: S 8(0/(0<И = /<0). АО Правую часть равенства можно представить в виде предела: ^ е « 11” 2i S /<о<«=!й S «.«жо л (»>о), —е -х Где f 0 при If 1^8, 8 (t) “ { 1/(2е) при |<|<в. Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций 6е (0 при е—»-0. Учитывая, что б e(t )—*-0 при 6e(t)~*■ оо при Г 1, t —*-0 и } 2e“*~ Условн° пишут О при t = Физически дельта-функцию можно истолковать как плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле. Можно- доказать, что дельта-функция представима интегралом Фурье: CD 6 (0 =2^ ^ e“»'dco. Оо Отсюда CD J е“°‘d(o— 2п Ь (i). (*) — CD Замечание. В приложениях часто используют соотношение 00 5 /(/> в(/-л,)=/('<>). Ао Которое вытекает из сказанного выше. Стационарный белый шум Стационарным белым шумом называют стационарную случайную функцию X ( t ), спектральная плотность которой постоянна: sx (со) — s = const. Найдем корреляционную функцию белого шума. Используя формулу (**) (см. § 3) **(т) = § sx(<a)eta>x d<i>;, — 00 Получим kx (т) — s § el<BTdco. CD Приняв во внимание, что [см. § 6, соотношение (*)] 00 § eland<o = 2 я 6 (т),
|
