Окончательно имеем
kx (т) = 2 я®б (т). (**) Таким образом, корреляционная функция стационарного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэффициент пропорциональности 2л® называют интенсивностью стационарного белого шума. Дельта-функция равна нулю при всех значениях тфО, поэтому и корреляционная функция kx(r) также равна нулю при этих же значениях т [это видно из формулы (**)]. Равенство же нулю корреляционной функции стационарного белого шума означает некоррелированность любых двух его сечений—случайных величин X (tj и X (tt) Благодаря этой особенности белый шум находит широкое применение в теории случайных функций и ее приложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях tt и tt соответствующие случайные величины X (fj и X ( t t) в известной степени коррелированы. Таким образом, стационарный белый шум — математическая абстракция, полезная для теории случайных функций и ее приложений. В частности, белый шум используют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в определенном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не интересует. Пример. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (О постоянна в диапазоне частот (— ю0> u>0), а вне его равна нулю:
Найти: а) корреляционную функцию; 6) дисперсию случайной функции X (О- Решение, а) Найдем искомую корреляционную функцию: kx (т) = V s cos ondci> = 2s \ cos mda>; Итак, б) Найдем искомую дисперсию:
|
