О вне этого интервала.Решение. Используя формулу СО kx (т) = 2 ^ sx (®) cos сот dx о и учитывая, что sx(co) — со0 в интервале (0, со0). имеем кх (т) = 2s0 ^ cos сот dx. о Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функцию: kx (т) =2s„ sin со„т/т. Нормированная спектральная плотность Наряду со спектральной плотностью часто используют нормированную спектральную плотность. Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции X ( t) называют отношение спектральной плотности к дисперсии случайной функции: норм (®) = (®)/Ах ~ ** (®)| ^ d(t). OD Пример. Задана спектральная плотность sK (м) = 5/(я (1 -(-<»*)) стационарной случайной функции X (/). Найти нормированную спектральную плотность. Решение. Найдем дисперсию: d„_j..о)*,=-1 j r^r=i.,_5. Ао — оо Найдем искомую нормированную спектральную плотность, для чего разделим заданную спектральную плотность на дисперсию Dx =5; в итоге получим S* «ори (со) = 1/(я (1 + <»*))• Нормированная спектральная плотность представима в виде косинус-преобразования Фурье нормированной корреляционной функции: CD Sx норм (се) = — у рж (т) cos сет dr. Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточно разделить на Dx обе части соотношения (***) (см. § 3). В свою очередь, нормированная корреляционная функция выражается через нормированную спектральную плотность при помощи обратного преобразования Фурье: Р* СО = 2 5 s* норн (со) cos сот dco. О В частности, положив т = 0 и учитывая, что рх(0)=1, получим Ф ОО 2 ^ норм dcO == 1, ИЛИ ^ $х норм (®) dco = 1. О — сю Геометрически этот результат означает, что площадь, ограниченная снизу осью Осо и сверху кривой sXHOpM(co), равна единице.
|
