Рассмотрим случайную функцию вида
Z (t) = U cosa>t + V sin<o/, (*) где а) — постоянное действительное число; U и V —некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями: ma = mv = 0, Da = Dv = D. Преобразуем правую часть соотношения {*): Z(t) = V cos Ш sin. Положив U/V — tg ф и выполнив элементарные выкладки, получим Z (О = Vu* + V* sin (at + ф), где ф = arctg (U/V). Отсюда следует, что случайную функцию Z ( t ) = = U cos iot 4~ V' sin (at можно истолковать как гармоническое колебание со случайной амплитудой V и2 + V2, случайной фазой + arctg (U/V) и частотой (О. Заметим, что, по допущению, ma = mv = 0, поэтому U и V — центрированные случайные величины: U = U nV—V. Легко убедиться, что mz(t) = 0. Следовательно, Z(t) — центрированная случайная функция: Z(t)^Z(t). Покажем, что Z(t) — U cosfotf+У sintof— стационарная случайная функция. Действительно, математическое ожидание mz(t) — 0, т. е. постоянно при всех значениях аргумента. Найдем корреляционную функцию, приняв во внимание, что Z(t) — Z(t): Кг (tt, /,) = м \z (м 1 (/,)] = M[z (tt) z а,)] = = M [(t/ cos to* г 4- V sin (o/J (U cos <о/4 4~ V sin Выполнив элементарные выкладки *\ получим Kz(tx, t2) = Dcos(t2 — tj. Итак, корреляционная функция случайной функции Z(t) зависит только от разности аргументов, а ее математическое ожидание постоянно. Следовательно, Z (t ) — стационарная случайная функция, что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь случайную функцию X (/), которая является суммой конечного числа слагаемых вида (*): П х (о = 21 [^icos + v I s>n °м]«(*•*) IS 1 где случайные величины Ux и V,- не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: D (U,) = D (V/) = D. Заметим, что X ( t )— центрированная функция, т. е. X (t) = X ((). Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (**) равно нулю; следовательно, математическое ожидание mx(t) этой суммы также равно нулю и, значит, * (0 = Х(0—/МО = х«). Докажем, что функция X ( t ) вида (**) — стационарная. Действительно, математическое ожидание mx(t) = О при всех значениях аргумента, т. е. постоянно. Кроме того, слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы (см. далее пояснение), поэтому корреляционная функция этой суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, следствие 1 из теоремы 2). В п. 1 доказано, что корреляционная функция каждого слагаемого (**•) зависит только от разности аргументов t2 — Следовательно, корреляционная функция суммы (**) также зависит только от разности аргументов: П #*(*!. *t) = ^0/cos со,■(*,— Ох. *> При выкладках следует учесть, что, по условию, М ( 0 а) = = М (V2) — D, а так как U — U, V= V, то М (U2) — М (V2) = D. Случайные величины U и У не коррелированы, поэтому их корреляционный момент = (UV) = M (UV) = 0. Или л Мт)=2я, COS ft>(T, (*#*) (= 1 где т = /4— tt. Т аким образом, случайная функция X (t) вида (**) есть стационарная функция (разумеется, должны выполняться условия, указанные в п. 2). Принимая во внимание, что (см. п. 1) Х( (0 = УЩ + Щ sin (о,./ + Ф,), где ф; — arctg (С/,/К/), заключаем, что сумму (**) можно записать в виде х (0 = gyv} + v\ sin + q>,). Итак, если случайная функция X (t) может быть пред• ставлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то X (t)— стационарная функция. Спектральным разложением стационарной случайной функции называют представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами. Пояснение. Покажем, что слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя общности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми: Хг (t) = Ut cos g>i/ + Vl sin oij и Xt ( t) = Ut cos + Vt sin <att. Убедимся, что их взаимная корреляционная функция равна нулю и, следовательно, они не коррелированы (см. гл. XXIII, § 12): R (*i. *,) = М [Xl (tj X, (*,)] - М [X, (tj X, (/,)] = = М [(C/1cosco1<1 + V,1sinco1<1) (C^cosca^ + V^sinw^,)].
|
