Рассмотрим случайную функцию вида

Z (t) = U cosa>t + V sin<o/, (*)

где а) — постоянное действительное число; U и V —некор­релированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями: m_a = m_v = 0, D_a = D_v = D.

Преобразуем правую часть соотношения {*):

Z(t) = V cos Ш sin.

Положив U/V — tg ф и выполнив элементарные выкладки, получим

Z (О = Vu* + V* sin (at + ф),

где ф = arctg (U/V).

Отсюда следует, что случайную функцию Z ( t ) = = U cos iot 4~ V' sin (at можно истолковать как гармониче­ское колебание со случайной амплитудой V и² + V², случайной фазой + arctg (U/V) и ча­стотой (О.

Заметим, что, по допущению, m_a = m_v = 0, поэтому U и V — центрированные случайные величины: U = U nV—V.

Легко убедиться, что m_z(t) = 0. Следовательно, Z(t) — центрированная случайная функция:

Z(t)^Z(t).

Покажем, что Z(t) — U cosfotf+У sintof— стационарная случайная функция. Действительно, математическое ожи­дание m_z(t) — 0, т. е. постоянно при всех значениях аргу­мента. Найдем корреляционную функцию, приняв во внимание, что Z(t) — Z(t):

К_г (t_t, /,) = м \z (м 1 (/,)] = M[z (t_t) z а,)] =

= M [(t/ cos to* _г 4- V sin (o/J (U cos <о/₄ 4~ V sin

Выполнив элементарные выкладки *\ получим Kz(t_x, t₂) = Dcos(t₂ — tj.

Итак, корреляционная функция случайной функции Z(t) зависит только от разности аргументов, а ее мате­матическое ожидание постоянно. Следовательно, Z (t ) — стационарная случайная функция, что и тре­бовалось доказать.

Рассмотрим теперь случайную функцию X (/), ко­торая является суммой конечного числа слагаемых вида (*):

П

х (о = 21 [^i^cos + v I ^s>ⁿ °м]«(*•*)

IS 1

где случайные величины U_x и V,- не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и дисперсии вели­чин с одинаковыми индексами равны между собой: D (U,) = D (V/) = D.

Заметим, что X ( t )— центрированная функция, т. е. X (t) = X ((). Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (**) равно нулю; следова­тельно, математическое ожидание m_x(t) этой суммы также равно нулю и, значит,

* (0 = Х(0—/МО = х«).

Докажем, что функция X ( t ) вида (**) — стационар­ная. Действительно, математическое ожидание m_x(t) = О при всех значениях аргумента, т. е. постоянно. Кроме того, слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы (см. далее пояснение), поэтому корреляционная функция этой суммы равна сумме корреляционных функций сла­гаемых (см. гл. XXIII, § 15, следствие 1 из теоремы 2). В п. 1 доказано, что корреляционная функция каждого слагаемого (**•) зависит только от разности аргументов t₂ — Следовательно, корреляционная функция сум­мы (**) также зависит только от разности аргументов:

П

#*(*!. *t) = ^0/cos со,■(*,— Ох.

*> При выкладках следует учесть, что, по условию, М ( 0 ^а) = = М (V²) — D, а так как U — U, V= V, то М (U²) — М (V²) = D. Слу­чайные величины U и У не коррелированы, поэтому их корреляци­онный момент = (UV) = M (UV) = 0.

Или

л

Мт)=2я, COS ft>₍T, (*#*)

(= 1

где т = /₄— t_t.

Т аким образом, случайная функция X (t) вида (**) есть стационарная функция (разумеется, должны выполняться условия, указанные в п. 2). Принимая во внимание, что (см. п. 1)

Х₍ (0 = УЩ + Щ sin (о,./ + Ф,),

где ф; — arctg (С/,/К/), заключаем, что сумму (**) можно записать в виде

х (0 = gyv} + v\ sin + q>,).

Итак, если случайная функция X (t) может быть пред• ставлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то X (t)— стационарная функция.

Спектральным разложением стационарной случайной функции называют представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами.

Пояснение. Покажем, что слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя общ­ности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми:

Х_г (t) = U_t cos g>i/ + V_l sin oij и X_t ( t) = U_t cos + V_t sin <a_tt.

Убедимся, что их взаимная корреляционная функция равна нулю и, следовательно, они не коррелированы (см. гл. XXIII, § 12):

R (*i. *,) = М [X_l (tj X, (*,)] - М [X, (tj X, (/,)] =

= М [(C/₁cosco₁<₁ + V^,₁sinco₁<₁) (C^cosca^ + V^sinw^,)].