Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной
Теорема. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции X (/) и ее производной X' (t) = х равна первой производной от корреляционной функции kx(т), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс х стоит на втором (первом) по порядку месте: а) гхк (т) = &(*); б) г1х(т) = —*;(т). Предполагается, что x — t%—tt. Доказательство, а) По определению взаимной корреляционной функции, ; ('»>'.) = м[к (tt) х'«,)] = м {|. Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить (см. гл. XXIII, § 16, замечание 1), поэтому „ „ dM[*(/i) *(/,)] дКх(*1.*4?xiy 5 ^ • Так как X (() — стационарная функция, то ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: Kx ^k'x(x), гДе T = tt и, следовательно, 1. ot% Таким образом, ^ и • I - м. Правая часть равенства зависит только от т; следовательно, и левая часть есть функция от т. Обозначив ее через гх'х (т), окончательно получим гхх (т) —^(т)* б) Доказывается аналогично. Заметим, что поскольку взаимная корреляционная функция гх - (т) зависит только от т, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны (см. § 4). Пример. Задана корреляционная функция kx (т) = е-|х1 (I +| 1 1) стационарной случайной функции X (/)• Найти взаимную корреляционную функцию, г (т) заданной случайной функции и ее производной.
|
