Стационарно связанные случайные функции
Стационарно связанными называют две случайные функции X (/) и У (/), если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов х = t t— Rxy (^1» ta) = Гху (т). Взаимная корреляционная функция стационарно связанных случайных функций обладает следующим свойством: г*у М = гух (— т). Это равенство следует из свойства 1 взаимной корреляционной функции (при одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется): rxy(t% — ti) = ryx(ti—tt), или гху(т) = Гия(— т). Геометрически свойство можно истолковать так: график кривой гух (— т) симметричен графику кривой гху (т) относительно оси ординат. Заметим, что если каждая из двух случайных функций стационарна, то отсюда еще нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Стационарными и стационарно связанными называют две стационарные случайные функции X (t) и У (/), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов т =*t t— tlt Пример. Заданы две стационарные случайные функции X (/) аа = соз(/ + ф) и Y (/) = sln (/+ф), где ф— случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2п). Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны. Решение. Ранее было найдено, что ш* (/) = 0 (см. § I, пример); аналогично можно получить, что ту (/) =0. Запишем центрированные функции: к (/) = X (/) ~ тх (/) = X (/) шш cos (/ + ф), ?(() = У (0 — mv (/) = K(/) = sin (/ + ф). Найдем взаимную корреляционную функцию: RxV Vi. = M [к (t J? (tt)]**M [cos +Ф) sin (itt +ф)] =. __M sin (/, — /04-sin (/! + <, +2ф) ' __ sin (/, — /,) ^ j~sln (/1 + /»Ч-2ф)~ Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагаемого равно нулю (см. § 1, пример), поэтому RxV(ti, *2) = (1/2) sin (/*—<!). Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационарных случайных функций зависит только от разности аргументов; следовательно, эти функции стационарно связаны.
|
