Интеграл от случайной функции и его характеристики
Интегралом от случайной функции X (/) по отрезку [0, <] называют предел в среднеквадратическом интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала Д st- максимальной длины (переменная интегрирования обозначена через s, чтобы отличить ее от предела интегрирования t): t Y (f) = l.Lrn. 2^(s/)Asi — $ X ( s)ds . Дsf 0 0 Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики интеграла от случайной функции? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные ниже. Теорема 1. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания: если i Y (О = S X (s) ds, о То t mv (0= Jm* (s)ds. о Доказательство. По определению интеграла, ( t) = l.i.m. 2 X (s/) As,-. ASj-*-0 Приравняем математические ожидания обеих частей равенства; М [Y (0] = М 2 X (sf) As/j. Изменим порядок нахождения математического ожидания и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства): Л*[Г(0]= ton [М 2 X (s^ As,-]. As^-»-0 Воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий: Л*1У(0]= Iim As,--* 0 Учитывая, что 2m*(s»)^s/—интегральная сумма функции тх (s), окончательно получим ту (0 =\тх (s) ds. Замечание. По существу доказано, что операции нахождения математического ожидания и среднеквадратичного интегрирования можно менять местами. Действительно, запишем доказанную теорему так: О Jo
|
