Определение стационарной случайной функции
Среди случайных функций целесообразно выделить класс функций, математические ожидания которых сохраняют одно и то же постоянное значение при всех значениях аргумента t и корреляционные функции которых зависят только от разности аргументов t2 — tt. Ясно, что для таких функций начало отсчета аргумента может быть выбрано произвольно. Такие случайные функции называют «стационарными в широком смысле» в отличие от случайных функций, «стационарных в узком смысле» (все характеристики этих функций не зависят от самих значений аргументов, но зависят от их взаимного расположения на оси t). Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле; обратное утверждение неверно. Поскольку мы ограничиваемся корреляционной теорией, которая использует только две характеристики (математическое ожидание и корреляционную функцию), далее рассмотрим случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем их называть просто стационарными. р Стационарной называют случайную функцию X (t), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов t2 —Из этого определения следует, что: корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента т — tt — tt, т. е. Kx(tt, tt) = kx(t2 — tl) = kx(xy, (*) дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента t и равна значению ее корреляционной функции в начале координат (т = 0), т. е. Dx(t) = Kx{t, t) = kx(t-t)=kx(0). (**) Пример. Задана случайная функция X (t) = cos (/ 4-<р), где <р — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2я). Доказать, что X (/) — стационарная случайная функция. Решение. Найдем математическое ожидание: тх (t) — M [cos (t —J— <p)J = M [cos t cos ф—sin t sin <p]=cos tM (cos q>)— sin tM (sin <p). Используя формулы (**) нз гл. XII, § 11 и (*) из гл. XI, § 6, получим: Л М (cos ф) = J cos ф <*ф = 0 и М (sin ф) = 0. о Следовательно, mx(t) = 0. Найдем корреляционную функцию, учитывая, что цеитрнроваи- ная функция У(( t) = X (/) — тх ( t)=X (t) = cos (/+ф): KxVi. (/t) к (/a)] = M [cos (^ + ф) cos (/, + <p)J = — M |^cos + COS (/, + ^i + 2<P) j cos (Легко убедиться, что M [cos (/* + ^1 + 2ф)1 = 0.) Итак, математическое ожидание случайной функции X (/) постоянно при всех значениях аргумента и ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, X (/) — стационарная случайная функция. Заметим, что, положив t1 — t2 = i в корреляционной функции, найдем дисперсию Dx(t) — Kx(t, O = lcos (t — 01/2=1/2. Таким образом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех значениях аргумента, как и должно быть для стационарной случайной фуакции,
|
