Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции
Кроме корреляционной функции для оценки степени зависимости сечений стационарной случайной функции используют еще идну характеристику — нормированную корреляционную функцию. Ранее нормированная корреляционная функция была определена так (см. гл. XXIII, § 11): р,«,. о В частности, для стационарной функции числитель и знаменатель этой дроби имеют вид (см. § 1, соотношения (*) и (**)) Kx{tlt tt)=kx{ т), ах (t) = У Dx (t) = Vkx (0). Следовательно, для стационарной функции правая часть (*) равна kx(x)/kx(0) и является функцией одного аргумента т; очевидно, и левая часть (*) — функция от т. Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента т: Pxi*) = kx (T)/kx (0). Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает единицы. Справедливость этого свойства уже была доказана ранее для любой случайной функции (см. гл. XXIII, § 11). В учебных целях докажем его непосредственно для стационарной функции. Приняв во внимание, что абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин, получим IР* W Ы К Шх (0) I = I kx (т) |/| kx (0) |. Учитывая, что | kx (т) | ^ kx (0) (см. § 2, свойство 2), окончательно имеем |Р*(т)|<1. Замечание. При т —0 нормированная корреляционная функция равна единице. Действительно, Р*(0) = ** (0)/fcx(0)=l. Пример. Задана корреляционная функция kx (т) =(1/2) cos т стационарной случайной функции X (I). Найти нормированную корреляционную функцию. Решение. Воспользуемся определением нормированной корреляционной функции: о (x)-k* (т)-(1/2) cos т- соз т fcx(0) (1/2) cos 0
|
